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有谁回答得最快,下个数字是多少？ (4人在浏览)

Sn-S(n-1)=n(n+1)(n+2)/6
S(n-1)-S(n-2)=(n-1)n(n+1)/6
、、、、、、、、
S2-S1=2*3*4/6=4
Sn-S(n-1)+S(n-1)-S(n-2)= n(n+1)(n+2)/6+(n-1)n(n+1)/6
Sn-S(n-2)= n(n+1)(n+2)/6+(n-1)n(n+1)/6
、、、、、、
Sn-S1= n(n+1)(n+2)/6+(n-1)n(n+1)/6+、、、+2*3*4/6
Sn=1+2*3*4/6+3*4*5/6+4*5*6/6+、、、、、、+(n-1)n(n+1)/6+ n(n+1)(n+2)/6
=？？？？？
 
QUOTE(billli @ 2011年12月22日 Thursday, 02:57 PM)
哈哈,用数学归纳法是不能做的,
数学归纳法是知道结果再去证明的,
问题是结果你知道了吗?
要是我还没有做出那个结果,你怎么归纳呀?
[snapback]3296644[/snapback]​


我是说，你猜想出就用数学归纳法证明行了！！
除了猜想，你有什么办法？
 
我判断：一般高中生做不出
 
学习学习
 
QUOTE(春诗 @ 2011年12月22日 Thursday, 03:10 PM)
Sn-S(n-1)=n(n+1)(n+2)/6
S(n-1)-S(n-2)=(n-1)n(n+1)/6
、、、、、、、、
S2-S1=2*3*4/6=4
Sn-S(n-1)+S(n-1)-S(n-2)= n(n+1)(n+2)/6+(n-1)n(n+1)/6
Sn-S(n-2)= n(n+1)(n+2)/6+(n-1)n(n+1)/6
、、、、、、
Sn-S1= n(n+1)(n+2)/6+(n-1)n(n+1)/6+、、、+2*3*4/6
Sn=1+2*3*4/6+3*4*5/6+4*5*6/6+、、、、、、+(n-1)n(n+1)/6+ n(n+1)(n+2)/6
=？？？？？
[snapback]3296649[/snapback]​


既然求出了An=n(n+1)(n+2)/6
要求前N项之和，就不用像上面绕一个大弯忽悠人家了
直接Sn=A1+A2+A3+A4...+An-1+An
=1*2*3/6+2*3*4/6+3*4*5/6+3*4*5/6+(n-1)n(+1)/6+n(n+1)(n+2)/6
=??????

剩下的就只能交给神仙去完成了。。。。。。。
反正我是不会做了
 
QUOTE(billli @ 2011年12月22日 Thursday, 03:26 PM)
既然求出了An=n(n+1)(n+2)/6
要求前N项之和，就不用像上面绕一个大弯忽悠人家了
直接Sn=A1+A2+A3+A4...+An-1+An
=1*2*3/6+2*3*4/6+3*4*5/6+3*4*5/6+(n-1)n(+1)/6+n(n+1)(n+2)/6
=??????

剩下的就只能交给神仙去完成了。。。。。。。
反正我是不会做了
[snapback]3296658[/snapback]​


这句话倒是真话。
 
QUOTE(春诗 @ 2011年12月22日 Thursday, 03:15 PM)
题目只是求下一个数，不求通解。
我是说，你猜想出就用数学归纳法证明行了！！
[snapback]3296653[/snapback]​


呵呵，要猜想出来就难咯，数与式有无穷无尽，变化万千，要猜想出例如大海捞针，
要是做选择题那就不用说了呀，
 
QUOTE(billli @ 2011年12月22日 Thursday, 02:57 PM)
哈哈,用数学归纳法是不能做的,
数学归纳法是知道结果再去证明的,
问题是结果你知道了吗?
要是我还没有做出那个结果,你怎么归纳呀?
[snapback]3296644[/snapback]​


你如果不是猜想，用什么办法能做？
想开开眼界
 
QUOTE(billli @ 2011年12月22日 Thursday, 03:30 PM)
呵呵，要猜想出来就难咯，数与式有无穷无尽，变化万千，要猜想出例如大海捞针，
要是做选择题那就不用说了呀，
[snapback]3296662[/snapback]​


猜想其实就是数学归纳法的范畴。不能用数学归纳法去证明的猜想是不作为答案的，因为你不能一个一个地去核对所有数。
 
也不是完全不用猜想。用了一步
A1=1
A2=4=(1)+1+2
A3=10=(4)+1+2+3
A4=20(10)+1+2+3+4
A5=35=(20)+1+2+3+4+5
A6=56=(35)+1+2+3+4+5+6
A7=(56)+1+2+3+4+5+6+7=84 其实（ ）里是前一项的
...
现在开始堆理
An=An-1+(1+2+3+4+..+n) 这
=An-2+（1+2+3+...n-1)+(1+2+3+4+..+n)
=An-3+(1+2+3+...+n-2)+（1+2+3+...n-1)+(1+2+3+4+..+n)
=...
=A1+(1+2)+(1+2+3)+...+（1+2+3+...n-1)+(1+2+3+4+..+n)
=1+(1+2)+(1+2+3)+...+（1+2+3+...n-1)+(1+2+3+4+..+n)
=1*n+2(n-1)+3(n-2)+...+(n-2)*3+(n-1)2+n*1
现在才是难的开始呢
当n=偶数的时候
An= 1*n+2(n-1)+3(n-2)+...+(n-2)*3+(n-1)2+n*1
=2[1*n+2(n-1)+3(n-2)...+(n/2)*(n+2)/2]
=2[n+2n+3n+...+(n/2)*n-(1*2+2*3+...+(n-2/2)*n/2]
=2{n*(n/2)*[(n/2)+1)]/2-[1*1+2*2+3*3+..(n-2/2)*(n-2/2)+
(1+2+3+...n/2)]}
=2{n*n*(n+2)/4-[1/6*(n-2/2)(n/2)(n-1)+(n-2/2)(n/2)/2]}
=2{n*n*(n+2)/4-[(n-2)(n-1)n/24-(n-2)n/8]}
=2[n*n*(n+2)/4-(n-2)(n-1)n/24-(n-2)n/8]
=n(n+1)(n+2)/6 这步会算了吧，
当N=奇数的时候也是这个过程一样算，但算到的结果也是与偶数时一样的，
所以不伦N为什么数的时候
都有：An=n(n+1)(n+2)/6
 
三阶等差数列：a1=1,d1=3,d2=3,d3=1.
Sn=n*a1+n*(n+1)*d1/1*2+n*(n-1)*(n-2)*d2/1*2*3+n*(n-1)*(n-2)*(n-3)*d3/1*2*3*4
Sn=n+ n*(n+1)*3/2+ n*(n-1)*(n-2)*3/6+ n*(n-1)*(n-2)*(n-3)*/24
 
QUOTE(billli @ 2011年12月22日 Thursday, 05:34 PM)
也不是完全不用猜想。用了一步
A1=1
A2=4=(1)+1+2
A3=10=(4)+1+2+3
A4=20(10)+1+2+3+4
A5=35=(20)+1+2+3+4+5
A6=56=(35)+1+2+3+4+5+6
A7=(56)+1+2+3+4+5+6+7=84 其实（ ）里是前一项的
...
现在开始堆理
An=An-1+(1+2+3+4+..+n) 这
=An-2+（1+2+3+...n-1)+(1+2+3+4+..+n)
=An-3+(1+2+3+...+n-2)+（1+2+3+...n-1)+(1+2+3+4+..+n)
=...
=A1+(1+2)+(1+2+3)+...+（1+2+3+...n-1)+(1+2+3+4+..+n)
=1+(1+2)+(1+2+3)+...+（1+2+3+...n-1)+(1+2+3+4+..+n)
=1*n+2(n-1)+3(n-2)+...+(n-2)*3+(n-1)2+n*1
现在才是难的开始呢
当n=偶数的时候
An= 1*n+2(n-1)+3(n-2)+...+(n-2)*3+(n-1)2+n*1
=2[1*n+2(n-1)+3(n-2)...+(n/2)*(n+2)/2]
=2[n+2n+3n+...+(n/2)*n-(1*2+2*3+...+(n-2/2)*n/2]
=2{n*(n/2)*[(n/2)+1)]/2-[1*1+2*2+3*3+..(n-2/2)*(n-2/2)+
(1+2+3+...n/2)]}
=2{n*n*(n+2)/4-[1/6*(n-2/2)(n/2)(n-1)+(n-2/2)(n/2)/2]}
=2{n*n*(n+2)/4-[(n-2)(n-1)n/24-(n-2)n/8]}
=2[n*n*(n+2)/4-(n-2)(n-1)n/24-(n-2)n/8]
=n(n+1)(n+2)/6 这步会算了吧，
当N=奇数的时候也是这个过程一样算，但算到的结果也是与偶数时一样的，
所以不伦N为什么数的时候
都有：An=n(n+1)(n+2)/6
[snapback]3296697[/snapback]​


代2进 2{n*n*(n+2)/4-[(n-2)(n-1)n/24-(n-2)n/8]}等于8不是4
代4进 2{n*n*(n+2)/4-[(n-2)(n-1)n/24-(n-2)n/8]}・等于44不是10
 
2[n*n*(n+2)/4-(n-2)(n-1)n/24-(n-2)n/8]
=n*(5n+2)(n+2)/12不等于n(n+1)(n+2)/6
 
QUOTE(小学oo @ 2011年12月22日 Thursday, 07:29 PM)
代2进 2{n*n*(n+2)/4-[(n-2)(n-1)n/24-(n-2)n/8]}等于8不是4
代4进 2{n*n*(n+2)/4-[(n-2)(n-1)n/24-(n-2)n/8]}・等于44不是10
[snapback]3296768[/snapback]​


谢谢提醒
An= 2{n*n*(n+2)/8-[(n-2)(n-1)n/24-(n-2)n/8]}
=n(n+1)(n+2)/6
 
也不是完全不用猜想。用了一步
A1=1
A2=4=(1)+1+2
A3=10=(4)+1+2+3
A4=20(10)+1+2+3+4
A5=35=(20)+1+2+3+4+5
A6=56=(35)+1+2+3+4+5+6
A7=(56)+1+2+3+4+5+6+7=84 其实（ ）里是前一项的
...
现在开始堆理
An=An-1+(1+2+3+4+..+n) 这
=An-2+（1+2+3+...n-1)+(1+2+3+4+..+n)
=An-3+(1+2+3+...+n-2)+（1+2+3+...n-1)+(1+2+3+4+..+n)
=...
=A1+(1+2)+(1+2+3)+...+（1+2+3+...n-1)+(1+2+3+4+..+n)
=1+(1+2)+(1+2+3)+...+（1+2+3+...n-1)+(1+2+3+4+..+n)
=1*n+2(n-1)+3(n-2)+...+(n-2)*3+(n-1)2+n*1
现在才是难的开始呢
当n=偶数的时候
An= 1*n+2(n-1)+3(n-2)+...+(n-2)*3+(n-1)2+n*1
=2[1*n+2(n-1)+3(n-2)...+(n/2)*(n+2)/2]
=2[n+2n+3n+...+(n/2)*n-(1*2+2*3+...+(n-2/2)*n/2]
=2{n*(n/2)*[(n/2)+1)]/2-[1*1+2*2+3*3+..(n-2/2)*(n-2/2)+
(1+2+3+...n/2)]}
=2{n*n*(n+2)/8-[1/6*(n-2/2)(n/2)(n-1)+(n-2/2)(n/2)/2]}
=2{n*n*(n+2)/8-[(n-2)(n-1)n/24-(n-2)n/8]}
=2[n*n*(n+2)/8-(n-2)(n-1)n/24-(n-2)n/8]
=n(n+1)(n+2)/6 这步会算了吧，
当N=奇数的时候也是这个过程一样算，但算到的结果也是与偶数时一样的，
所以不伦N为什么数的时候
都有：An=n(n+1)(n+2)/6
 
QUOTE(billli @ 2011年12月22日 Thursday, 09:02 PM)
也不是完全不用猜想。用了一步
A1=1
A2=4=(1)+1+2
A3=10=(4)+1+2+3
A4=20(10)+1+2+3+4
A5=35=(20)+1+2+3+4+5
A6=56=(35)+1+2+3+4+5+6
A7=(56)+1+2+3+4+5+6+7=84 其实（ ）里是前一项的
...
现在开始堆理
An=An-1+(1+2+3+4+..+n) 这
=An-2+（1+2+3+...n-1)+(1+2+3+4+..+n)
=An-3+(1+2+3+...+n-2)+（1+2+3+...n-1)+(1+2+3+4+..+n)
=...
=A1+(1+2)+(1+2+3)+...+（1+2+3+...n-1)+(1+2+3+4+..+n)
=1+(1+2)+(1+2+3)+...+（1+2+3+...n-1)+(1+2+3+4+..+n)
=1*n+2(n-1)+3(n-2)+...+(n-2)*3+(n-1)2+n*1
现在才是难的开始呢
当n=偶数的时候
An= 1*n+2(n-1)+3(n-2)+...+(n-2)*3+(n-1)2+n*1
=2[1*n+2(n-1)+3(n-2)...+(n/2)*(n+2)/2]
=2[n+2n+3n+...+(n/2)*n-(1*2+2*3+...+(n-2/2)*n/2]
=2{n*(n/2)*[(n/2)+1)]/2-[1*1+2*2+3*3+..(n-2/2)*(n-2/2)+
(1+2+3+...n/2)]}
=2{n*n*(n+2)/8-[1/6*(n-2/2)(n/2)(n-1)+(n-2/2)(n/2)/2]}
=2{n*n*(n+2)/8-[(n-2)(n-1)n/24-(n-2)n/8]}
=2[n*n*(n+2)/8-(n-2)(n-1)n/24-(n-2)n/8]
=n(n+1)(n+2)/6 这步会算了吧，
当N=奇数的时候也是这个过程一样算，但算到的结果也是与偶数时一样的，
所以不伦N为什么数的时候
都有：An=n(n+1)(n+2)/6
[snapback]3296794[/snapback]​


你很搞笑，正负不分
 
QUOTE(小学oo @ 2011年12月22日 Thursday, 11:53 PM)
你很搞笑，正负不分
[snapback]3296915[/snapback]​


太多了,难免会打错了,
 
A1=1
A2=4=(1)+1+2
A3=10=(4)+1+2+3
A4=20(10)+1+2+3+4
A5=35=(20)+1+2+3+4+5
A6=56=(35)+1+2+3+4+5+6
A7=(56)+1+2+3+4+5+6+7=84 其实（ ）里是前一项的
...
现在开始堆理
An=An-1+(1+2+3+4+..+n) 这
=An-2+（1+2+3+...n-1)+(1+2+3+4+..+n)
=An-3+(1+2+3+...+n-2)+（1+2+3+...n-1)+(1+2+3+4+..+n)
=...
=A1+(1+2)+(1+2+3)+...+（1+2+3+...n-1)+(1+2+3+4+..+n)
=1+(1+2)+(1+2+3)+...+（1+2+3+...n-1)+(1+2+3+4+..+n)
=1*n+2(n-1)+3(n-2)+...+(n-2)*3+(n-1)2+n*1
现在才是难的开始呢
当n=偶数的时候
An= 1*n+2(n-1)+3(n-2)+...+(n-2)*3+(n-1)2+n*1
=2[1*n+2(n-1)+3(n-2)...+(n/2)*(n+2)/2]
=2[n+2n+3n+...+(n/2)*n-(1*2+2*3+...+(n-2/2)*n/2]
=2{n*(n/2)*[(n/2)+1)]/2-[1*1+2*2+3*3+..(n-2/2)*(n-2/2)+
(1+2+3+...n/2)]}
=2{n*n*(n+2)/8-[1/6*(n-2/2)(n/2)(n-1)+(n-2/2)(n/2)/2]}
=2{n*n*(n+2)/8-[(n-2)(n-1)n/24+(n-2)n/8]}
=2[n*n*(n+2)/8-(n-2)(n-1)n/24-(n-2)n/8]
=n(n+1)(n+2)/6 这步会算了吧，
当N=奇数的时候也是这个过程一样算，但算到的结果也是与偶数时一样的，
所以不伦N为什么数的时候
都有：An=n(n+1)(n+2)/6
 
对An求和：
An=n(n+1)(n+2)/6=(n^3+3*n^2+2*n)/6
则有：
S(n)=[(1^3+2^3+...+n^3)+3*(1^2+2^2+...+n^2)+2*(1+2+...+n)]/6
可以验证：1^3+2^3+...+n^3=[n*(n+1)]^2/4
1^2+2^2+...+n^2=n*(n+1)*(2*n+1)/6
1+2+...+n=n*(n+1)/2

代入可得：
S(n)=n*(n+1)*(n+2)*(n+3)/24
 
QUOTE(aest @ 2011年12月23日 Friday, 02:40 AM)
对An求和：
An=n(n+1)(n+2)/6=(n^3+3*n^2+2*n)/6
则有：
S(n)=[(1^3+2^3+...+n^3)+3*(1^2+2^2+...+n^2)+2*(1+2+...+n)]/6
可以验证：1^3+2^3+...+n^3=[n*(n+1)]^2/4
1^2+2^2+...+n^2=n*(n+1)*(2*n+1)/6
1+2+...+n=n*(n+1)/2

代入可得：
S(n)=n*(n+1)*(n+2)*(n+3)/24
[snapback]3296954[/snapback]​


高明
face3.gif
 
这是基础的数学问题，难度也不算很大，有心就能做好。
 
前面部分容易理解
A1=1
A2=4=(1)+1+2
A3=10=(4)+1+2+3
A4=20(10)+1+2+3+4
A5=35=(20)+1+2+3+4+5
A6=56=(35)+1+2+3+4+5+6
A7=(56)+1+2+3+4+5+6+7=84 其实（ ）里是前一项的
...
现在开始堆理
An=An-1+(1+2+3+4+..+n) 这
=An-2+（1+2+3+...n-1)+(1+2+3+4+..+n)
=An-3+(1+2+3+...+n-2)+（1+2+3+...n-1)+(1+2+3+4+..+n)
=...
=A1+(1+2)+(1+2+3)+...+（1+2+3+...n-1)+(1+2+3+4+..+n)
=1+(1+2)+(1+2+3)+...+（1+2+3+...n-1)+(1+2+3+4+..+n)
=1*n+2(n-1)+3(n-2)+...+(n-2)*3+(n-1)2+n*1
 
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